8. Найдите значение выражения \(\frac{a^{21} \cdot a^{-12}}{a^{3}}\), при \( a = 2 \).

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

• Сначала умножим степени в числителе: \( a^{21} \cdot a^{-12} = a^{21 + (-12)} = a^{21 - 12} = a^9 \).
• Теперь разделим полученную степень на \( a^3 \): \( \frac{a^9}{a^3} = a^{9-3} = a^6 \).

Теперь подставим значение \( a = 2 \) в упрощённое выражение:

• \( a^6 = 2^6 \).
• \( 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 \).

Ответ: 64