8. Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{4a^7} \cdot \sqrt{25b^4}}{\sqrt{a^7b^2}} \) при \( a=4, b=11 \).

Решение:

1. Упростим выражение под корнем:
2. \( \frac{\sqrt{4a^7} \cdot \sqrt{25b^4}}{\sqrt{a^7b^2}} = \frac{\sqrt{4 \cdot a^7 \cdot 25 \cdot b^4}}{\sqrt{a^7b^2}} \).
3. \( 4 \cdot 25 = 100 \).
4. \( \frac{\sqrt{100 \cdot a^7 \cdot b^4}}{\sqrt{a^7b^2}} = \frac{10 \sqrt{a^7 b^4}}{\sqrt{a^7 b^2}} \).
5. Извлечём корни, где это возможно: \( \sqrt{b^4} = b^2 \).
6. \( \frac{10 \sqrt{a^7} \cdot b^2}{\sqrt{a^7} \sqrt{b^2}} \).
7. Сократим \( \sqrt{a^7} \): \( \frac{10 b^2}{\sqrt{b^2}} \).
8. \( \sqrt{b^2} = |b| \). Так как \( b=11 \) (положительное число), то \( |b| = b \).
9. \( \frac{10 b^2}{b} = 10b \).
10. Подставим значение \( b = 11 \): \( 10 \cdot 11 = 110 \).

Ответ: 110.