8. Найдите значение выражения \( \frac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{17}} \). Ответ:

Решение:

Воспользуемся свойствами корней: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) и \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \).

Сначала объединим числитель под один корень:

\[ \sqrt{51} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{51 \times 12} = \sqrt{612} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{\sqrt{612}}{\sqrt{17}} \]

Объединим под один корень:

\[ \sqrt{\frac{612}{17}} \]

Выполним деление в числителе:

\[ \frac{612}{17} = 36 \]

Теперь вычислим корень из 36:

\[ \sqrt{36} = 6 \]

Альтернативный способ:

\[ \frac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 17} \cdot \sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{17}} \]

Сократим \( \sqrt{17} \) в числителе и знаменателе:

\[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} \]

Умножим:

\[ (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \cdot \sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6 \]

Ответ: 6