8. Найдите значение выражения \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} \cdot 32^{-1} \cdot 4^{-2} \)

Задание 8. Нахождение значения выражения

Нужно найти значение выражения \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} \cdot 32^{-1} \cdot 4^{-2} \).

Решение:

1. Представим все основания степеней как степени двойки:
   • \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^{(-1) \cdot (-4)} = 2^4 \)
   • \( 32 = 2^5 \), значит \( 32^{-1} = (2^5)^{-1} = 2^{5 \cdot (-1)} = 2^{-5} \)
   • \( 4 = 2^2 \), значит \( 4^{-2} = (2^2)^{-2} = 2^{2 \cdot (-2)} = 2^{-4} \)
2. Подставим полученные степени двойки в исходное выражение: \[ 2^4 \cdot 2^{-5} \cdot 2^{-4} \]
3. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ 2^{4 + (-5) + (-4)} = 2^{4 - 5 - 4} = 2^{-5} \]
4. Вычислим значение: \( 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \).

Ответ: \( \frac{1}{32} \).