8. Найдите значение выражения при n = 64.

Решение:

Нужно найти значение выражения \( \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}}} \) при \( n = 64 \).

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

В знаменателе:

\( n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{12} + \frac{1}{4}} \)

Приведём дроби к общему знаменателю 12:

\( \frac{1}{12} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)

Знаменатель равен \( n^{\frac{1}{3}} \).

Теперь упростим всё выражение:

\( \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{3}}} = n^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} \)

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

\( \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Упрощённое выражение равно \( n^{\frac{1}{2}} \), что эквивалентно \( \sqrt{n} \).

Теперь подставим \( n = 64 \):

\( \sqrt{64} = 8 \)

Ответ: 8