8. Найдите значение выражения $$\sqrt{8 \cdot 21^2} \cdot \sqrt{8 \cdot 5^4}$$.

Решение:

Для решения используем свойства квадратных корней: \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( \sqrt{a^2} = |a| \).

1. Разобьем первое выражение под корнем: \( \sqrt{8 \cdot 21^2} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{21^2} = \sqrt{8} \cdot 21 \).
2. Разобьем второе выражение под корнем: \( \sqrt{8 \cdot 5^4} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5^4} \).
3. Вычислим \( \sqrt{5^4} \): \( \sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2} = 5^2 = 25 \).
4. Теперь перемножим полученные выражения: \( (\sqrt{8} \cdot 21) \cdot (\sqrt{8} \cdot 25) \).
5. Сгруппируем множители: \( (\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}) \cdot (21 \cdot 25) \).
6. \( \sqrt{8} \cdot \sqrt{8} = 8 \).
7. \( 21 \cdot 25 = 525 \).
8. Итого: \( 8 \cdot 525 = 4200 \).

Ответ: 4200