8. Найдите значение выражения \( \sqrt{a^2+6ab+9b^2} \) при \( a = 2 \frac{7}{8}, b = \frac{3}{8} \).

Решение:

Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом суммы:

\( a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2 \).

Тогда выражение под корнем можно упростить:

\( \sqrt{(a + 3b)^2} = |a + 3b| \).

Так как \( a \) и \( b \) положительные, \( a + 3b \) будет положительным, поэтому \( |a + 3b| = a + 3b \).

Теперь подставим значения \( a \) и \( b \):

\( a = 2 \frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{16 + 7}{8} = \frac{23}{8} \)

\( b = \frac{3}{8} \)

\( a + 3b = \frac{23}{8} + 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{23}{8} + \frac{9}{8} = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4 \).

Ответ: 4.