8. Найдите значение выражения $$\sqrt{a^2 +8ab+16b^2}$$ при $$a=3$$ и $$b=\frac{1}{3}$$.

Решение:

1. Выражение под корнем является полным квадратом суммы: $$a^2 + 8ab + 16b^2 = (a+4b)^2$$.
2. Тогда $$\sqrt{a^2 +8ab+16b^2} = \sqrt{(a+4b)^2} = |a+4b|$$.
3. Подставим значения $$a=3$$ и $$b=\frac{1}{3}$$: $$a+4b = 3 + 4 \cdot \frac{1}{3} = 3 + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$$.
4. Поскольку $$\frac{13}{3} > 0$$, то $$|a+4b| = a+4b = \frac{13}{3}$$.

Ответ: $$\frac{13}{3}$$.