8. Найдите значение выражения a^14 * (b^2)^8 / (a * b^2)^15 при a = 3 и b = 18. Ответ:

Привет! Давай разберем это задание по шагам.

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

1. Упрощаем числитель:

\[ a^{14} · (b^2)^8 = a^{14} · b^{2 · 8} = a^{14} · b^{16} \]

2. Упрощаем знаменатель:

\[ (a · b^2)^{15} = a^{1 · 15} · (b^2)^{15} = a^{15} · b^{2 · 15} = a^{15} · b^{30} \]

3. Теперь делим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

\[ \frac{a^{14} · b^{16}}{a^{15} · b^{30}} \]

По правилам степеней при делении, вычитаем показатели степени:

\[ a^{14-15} · b^{16-30} = a^{-1} · b^{-14} \]

4. Представляем отрицательные степени как дроби:

\[ a^{-1} = \frac{1}{a} \]

\[ b^{-14} = \frac{1}{b^{14}} \]

Значит, наше выражение равно:

\[ \frac{1}{a} · \frac{1}{b^{14}} = \frac{1}{a · b^{14}} \]

5. Теперь подставляем значения a = 3 и b = 18:

\[ \frac{1}{3 · 18^{14}} \]

Число 18¹⁴ — очень большое, и, скорее всего, ответ нужно оставить в таком виде. Проверим, нет ли ошибок в упрощении.

Давай перепроверим. Если мы упростим сразу:

\[ \frac{a^{14} · b^{16}}{a^{15} · b^{30}} = a^{14-15} · b^{16-30} = a^{-1} · b^{-14} = \frac{1}{a · b^{14}} \]

Подставляем значения:

\[ a=3, b=18 \]

\[ \frac{1}{3 · 18^{14}} \]

Возможно, в задании предполагалось, что какое-то из чисел упростится.

Давай еще раз посмотрим на знаменатель: (a * b^2)^15. Это a^15 * (b^2)^15 = a^15 * b^30.

Числитель: a^14 * (b^2)^8 = a^14 * b^16.

Делим: (a^14 * b^16) / (a^15 * b^30) = a^(14-15) * b^(16-30) = a^(-1) * b^(-14) = 1 / (a * b^14).

Подставляем: 1 / (3 * 18^14).

Все верно. Это очень маленькое число. Возможно, составители задачи хотели, чтобы мы оставили ответ именно в таком виде, не вычисляя 18¹⁴.

Ответ: $$\frac{1}{3 \cdot 18^{14}}$$