8. Найти экстремумы функции y = -x³ + 6x² + 15x + 1.

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = -3x^2 + 12x + 15 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -3x^2 + 12x + 15 = 0 \).
3. Разделим на -3: \( x^2 - 4x - 5 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение: \( (x-5)(x+1) = 0 \). Критические точки: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).
5. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( y'(-2) = -3(-2)^2 + 12(-2) + 15 = -3(4) - 24 + 15 = -12 - 24 + 15 = -21 < 0 \). Функция убывает.
• При \( -1 < x < 5 \), например \( x = 0 \): \( y'(0) = -3(0)^2 + 12(0) + 15 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( x > 5 \), например \( x = 6 \): \( y'(6) = -3(6)^2 + 12(6) + 15 = -3(36) + 72 + 15 = -108 + 72 + 15 = -36 + 15 = -21 < 0 \). Функция убывает.
6. На основании знаков производной делаем вывод:
• В точке \( x = -1 \) происходит смена знака производной с '-' на '+', значит, это точка локального минимума.
• В точке \( x = 5 \) происходит смена знака производной с '+' на '-', значит, это точка локального максимума.
7. Вычислим значения функции в этих точках:
• \( y(-1) = -(-1)^3 + 6(-1)^2 + 15(-1) + 1 = -(-1) + 6(1) - 15 + 1 = 1 + 6 - 15 + 1 = -7 \).
• \( y(5) = -(5)^3 + 6(5)^2 + 15(5) + 1 = -125 + 6(25) + 75 + 1 = -125 + 150 + 75 + 1 = 25 + 75 + 1 = 101 \).

Ответ: Локальный минимум в точке \( x = -1 \), значение функции \( y = -7 \). Локальный максимум в точке \( x = 5 \), значение функции \( y = 101 \).