9. Решить неравенство: 3-\(\sqrt{x^2+2x+2}\) \(\le\) 3-\(\sqrt{x^2-x+5}\)

Решение:

1. Вычтем 3 из обеих частей неравенства: \( -\sqrt{x^2+2x+2} \le -\sqrt{x^2-x+5} \).
2. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: \( \sqrt{x^2+2x+2} \ge \sqrt{x^2-x+5} \).
3. Возведем обе части в квадрат (так как подкоренные выражения неотрицательны): \( x^2+2x+2 \ge x^2-x+5 \).
4. Упростим неравенство: \( 2x+2 \ge -x+5 \).
5. \( 2x+x \ge 5-2 \).
6. \( 3x \ge 3 \).
7. \( x \ge 1 \).
8. Проверим неотрицательность подкоренных выражений. Дискриминант для \( x^2+2x+2 \) равен \( 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 \), так как ветви параболы вверх, то \( x^2+2x+2 > 0 \) для всех \( x \).
9. Дискриминант для \( x^2-x+5 \) равен \( (-1)^2 - 4(1)(5) = 1 - 20 = -19 < 0 \), так как ветви параболы вверх, то \( x^2-x+5 > 0 \) для всех \( x \).
10. Таким образом, область допустимых значений — все действительные числа.
11. Следовательно, решение неравенства \( x \ge 1 \).

Ответ: \( [1; +\infty) \)