8. Найти промежутки убывания функции: y = 2x⁴ – 16x² + 3

Решение:

Функция убывает там, где её производная отрицательна.

Найдем производную функции \( y = 2x^4 - 16x^2 + 3 \):

\( y' = (2x^4 - 16x^2 + 3)' \)

\( y' = 2 \cdot 4x^3 - 16 \cdot 2x + 0 \)

\( y' = 8x^3 - 32x \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 8x^3 - 32x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 8x \):

\( 8x(x^2 - 4) = 0 \).

Получаем три критические точки:

1. \( 8x = 0 \) \(\implies\) \( x = 0 \).

2. \( x^2 - 4 = 0 \) \(\implies\) \( x^2 = 4 \) \(\implies\) \( x = \pm 2 \).

Критические точки: \( x = -2, x = 0, x = 2 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных этими точками:

• Интервал \( (-\infty, -2) \): Возьмем \( x = -3 \). \( y'(-3) = 8(-3)^3 - 32(-3) = 8(-27) + 96 = -216 + 96 = -120 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (-2, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 8(-1)^3 - 32(-1) = 8(-1) + 32 = -8 + 32 = 24 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (0, 2) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 8(1)^3 - 32(1) = 8 - 32 = -24 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (2, +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 8(3)^3 - 32(3) = 8(27) - 96 = 216 - 96 = 120 > 0 \). Функция возрастает.

Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \).

Ответ: промежутки убывания функции: \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \).