8) Найти синус угла между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\). Дано: \(\vec a=(1;0;5)\), \(\vec b=(2;-2;1)\).

Используем формулу \(\sin\varphi=\frac{|\vec a\times\vec b|}{|\vec a|\,|\vec b|}\).

Из вычисления векторного произведения получаем \(|\vec a\times\vec b|=\sqrt{185}\). Длины векторов: \(|\vec a|=\sqrt{1^2+0^2+5^2}=\sqrt{26}\), \(|\vec b|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3\).

Следовательно, \(\sin\varphi=\frac{\sqrt{185}}{3\sqrt{26}}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{185}}{3\sqrt{26}}\).