8. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 6, АС = 10.

Решение:

Пусть O — центр окружности. Так как окружность касается прямой AB в точке B, то радиус OB перпендикулярен AB. Следовательно, $$\triangle ABO$$ — прямоугольный треугольник с прямым углом в B.

Центр окружности O лежит на стороне AC. Окружность проходит через точку C, значит, OC — радиус окружности.

Так как OB и OC — радиусы окружности, то $$OB = OC = R$$.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ABO$$ по теореме Пифагора имеем: $$AO^2 = AB^2 + OB^2$$.

Также $$AO = AC - OC$$. Подставляем известные значения:

• $$AB = 6$$
• $$AC = 10$$
• $$OB = R$$
• $$OC = R$$
• $$AO = 10 - R$$

Подставляем в теорему Пифагора:

\[ (10 - R)^2 = 6^2 + R^2 \]

\[ 100 - 20R + R^2 = 36 + R^2 \]

\[ 100 - 20R = 36 \]

\[ 20R = 100 - 36 \]

\[ 20R = 64 \]

\[ R = \frac{64}{20} = \frac{16}{5} = 3.2 \]

Диаметр окружности равен $$D = 2R$$.

\[ D = 2 \times 3.2 = 6.4 \]

Ответ: 6.4