Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 8. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.Фото задания

Ответ:

Доказательство:

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC и AD. По условию BC || AD.

Проведем диагональ BD.

Рассмотрим треугольники CBD и BDA.

  1. Угол CBD равен углу BDA как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.
  2. Угол BCD равен углу DAB, так как это углы при боковых сторонах трапеции, прилежащие к основанию AD, и сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180. Однако, это не всегда так.
  3. Более общий случай: Угол ACB равен углу CAD как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC.
  4. Угол DBC = Угол BDA (накрест лежащие при BC || AD и секущей BD).
  5. Угол BCD = Угол ABC (не обязательно равны).
  6. Угол ADC = Угол BAD (не обязательно равны).

Рассмотрим углы, образованные диагональю BD:

  1. \(\angle CBD = \angle BDA\) (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BD).
  2. \(\angle BDC\) и \(\angle ABD\) - не обязательно равны.

Для подобия треугольников достаточно двух равных углов. Мы уже нашли, что \(\angle CBD = \angle BDA\).

Рассмотрим углы, образованные диагональю AC:

  1. \(\angle BCA = \angle CAD\) (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).

Таким образом, в треугольниках CBD и BDA мы имеем:

  • \(\angle CBD = \angle BDA\)

Для доказательства подобия по двум углам, нам нужен еще один равный угол.

Рассмотрим треугольник CBD и треугольник BDA. У нас есть пара равных углов: \(\angle CBD = \angle BDA\) (накрест лежащие при BC || AD и секущей BD).

Углы \(\angle BCD\) и \(\angle BAD\) не обязательно равны.

Углы \(\angle CDB\) и \(\angle DBA\) не обязательно равны.

Однако, если рассмотреть углы \(\angle BCD\) и \(\angle DAB\), они не обязательно равны.

Давайте пересмотрим. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD, BC || AD.

Рассмотрим треугольники CBD и BDA.

1. \(\angle CBD = \angle BDA\) (накрест лежащие углы при BC || AD и секущей BD).

2. \(\angle BCD\) и \(\angle BAD\) не равны.

3. \(\angle CDB\) и \(\angle DBA\) не равны.

Посмотрим внимательно на рисунок. Отрезки AC и BD - это диагонали. Однако, в задаче говорится о трапеции ABCD. На рисунке к задаче 7 изображена окружность, а здесь трапеция.

В условии задачи 8 сказано: \( BC = 5 \), \( AD = 20 \), \( BD = 10 \). Докажите, что \(\triangle CBD \sim \triangle BDA\).

Мы уже имеем \(\angle CBD = \angle BDA\) (как накрест лежащие).

Для подобия по двум углам, нам нужен еще один общий угол или пара равных углов.

Рассмотрим соотношение сторон:

\(\frac{BC}{AD} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{CB}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{BD}{DA} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\)

Мы видим, что \(\frac{CB}{BD} = \frac{BD}{DA} = \frac{1}{2}\). Это соотношение сторон, а не отношений сторон для подобия.

Вернемся к углам. Мы имеем \(\angle CBD = \angle BDA\). Если бы \(\angle CDB = \angle ABD\), то треугольники были бы подобны по двум углам.

Однако, давайте рассмотрим подобие по двум сторонам и углу между ними (СУС).

У нас есть две пары сторон: BC и BD в \(\triangle CBD\), и BD и AD в \(\triangle BDA\).

Угол между BC и BD - это \(\angle CBD\).

Угол между BD и AD - это \(\angle BDA\).

Мы уже знаем, что \(\angle CBD = \angle BDA\).

Теперь проверим пропорциональность сторон:

\[ \frac{BC}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]\[ \frac{BD}{AD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]

Так как \(\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}\) и \(\angle CBD = \angle BDA\) (как накрест лежащие углы при BC || AD и секущей BD), то треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними (признак подобия СУС).

Доказано.