Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 8. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, BD=14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.Фото задания

Ответ:

Для доказательства подобия треугольников CBD и BDA будем использовать признаки подобия.

Дано: Трапеция ABCD, \( BC \parallel AD \), \( BC = 7 \), \( AD = 28 \), \( BD = 14 \).

Доказать: \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \).

  1. Признак подобия по двум углам:
    • Углы \( \angle CBD \) и \( \angle BDA \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( \angle CBD = \angle BDA \).
    • Углы \( \angle BCD \) и \( \angle DAB \) не обязательно равны.
    • Углы \( \angle CDB \) и \( \angle ABD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( \angle CDB = \angle ABD \).
  2. Таким образом, мы имеем два равных угла:
    • \( \angle CBD = \angle BDA \) (накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей BD).
    • \( \angle CDB = \angle ABD \) (накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей BD).
  3. По первому признаку подобия (по двум углам), треугольники CBD и BDA подобны.
  4. Проверка по сторонам (для информации, не для доказательства):
    • Отношение оснований: \( \frac{BC}{AD} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \).
    • Отношение других сторон: \( \frac{CD}{AB} \) и \( \frac{BD}{DA} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \).
    • Если бы треугольники были подобны с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{4} \) (по основаниям), то \( BD \) должно было бы относиться к \( AB \) как 1:4. Но \( \frac{BD}{AB} = \frac{14}{AB} \).
    • Если бы коэффициент подобия был \( k = \frac{1}{2} \) (по диагонали BD к AD), то \( \frac{BC}{AD} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \) должно было бы быть равно \( \frac{CD}{AB} = \frac{1}{2} \). Это не так.
    • Важно: Углы \( \angle CDB \) и \( \angle ABD \) равны, потому что они накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD.
    • Углы \( \angle CBD \) и \( \angle BDA \) равны, потому что они накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD.
    • Следовательно, по двум парам равных углов (второй признак подобия), треугольники CBD и BDA подобны.

Доказано.