8. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, в 4 раза больше площади квадрата, построенного на одном из катетов, и на 1 квадратную единицу больше площади квадрата, построенного на другом катете. Найдите стороны треугольника.

Обозначим площадь квадрата на гипотенузе через \(S\). Тогда площади квадратов на катетах равны \(\frac{S}{4}\) и \(S-1\). По теореме Пифагора:

\(S = \frac{S}{4} + (S - 1)\).

1. Вычитаем \(S\) из обеих частей: \(0 = \frac{S}{4} - 1\), поэтому \(S=4\).
2. Площади квадратов на катетах: \(\frac{4}{4}=1\) и \(4-1=3\).
3. Длины катетов равны \(\sqrt{1}=1\) и \(\sqrt{3}\), а длина гипотенузы — \(\sqrt{4}=2\).

Ответ: катеты 1 и \(\sqrt{3}\), гипотенуза 2.