8. Преобразуйте в многочлен выражение: a) (a-3)(a+3)(9+a²) б) (b²+4)(b-2)(2+b) в) (c-1)(c+1)² г) (3-a)²(S+a)²

Решение:

Для преобразования в многочлен используем формулу разности квадратов \( (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 \) и свойства степеней.

• а) \( (a - 3)(a + 3)(9 + a^2) = (a^2 - 3^2)(9 + a^2) = (a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81 \).
• б) \( (b^2 + 4)(b - 2)(2 + b) = (b^2 + 4)(b^2 - 2^2) = (b^2 + 4)(b^2 - 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16 \).
• в) \( (c - 1)(c + 1)^2 = (c - 1)(c + 1)(c + 1) = (c^2 - 1)(c + 1) = c^2(c + 1) - 1(c + 1) = c^3 + c^2 - c - 1 \).
• г) \( (3 - a)^2(S + a)^2 \). Здесь, вероятно, вместо \( S \) должно быть \( 3 \). Предположим, что это так: \( (3 - a)^2(3 + a)^2 = ((3 - a)(3 + a))^2 = (3^2 - a^2)^2 = (9 - a^2)^2 = 9^2 - 2 x 9 x a^2 + (a^2)^2 = 81 - 18a^2 + a^4 \).

Ответ: а) a⁴ - 81; б) b⁴ - 16; в) c³ + c² - c - 1; г) 81 - 18a² + a⁴ (при условии, что S=3).