8. При каких значениях параметра а уравнение x³ - (a-5)x² - 5ax = 0 имеет ровно два различных корня.

Анализ уравнения x³ - (a-5)x² - 5ax = 0:

Сначала вынесем общий множитель x за скобки:

\( x(x² - (a-5)x - 5a) = 0 \)

Это уравнение уже имеет один корень x₁ = 0. Чтобы у исходного уравнения было ровно два различных корня, квадратное уравнение \( x² - (a-5)x - 5a = 0 \) должно иметь:

• Либо один корень, отличный от нуля.
• Либо два корня, один из которых равен нулю, а другой отличен от нуля.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень, отличный от нуля.

Это происходит, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю (D=0), и этот корень не равен нулю.

Дискриминант D = b² - 4ac = (-(a-5))² - 4(1)(-5a) = (a-5)² + 20a = a² - 10a + 25 + 20a = a² + 10a + 25 = (a+5)².

D = 0, когда \( (a+5)² = 0 \) ⇒ \( a = -5 \).

Найдем корень квадратного уравнения при a = -5:

\( x = \frac{-(a-5)}{2} = \frac{-(-5-5)}{2} = \frac{-(-10)}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Так как корень x = 5 не равен нулю, то при a = -5 исходное уравнение имеет два различных корня: x₁ = 0 и x₂ = 5.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю.

Если один из корней квадратного уравнения равен нулю, то подставив x=0 в уравнение \( x² - (a-5)x - 5a = 0 \), получим:

\( 0² - (a-5)⋅0 - 5a = 0 \) ⇒ \( -5a = 0 \) ⇒ \( a = 0 \).

Теперь найдем второй корень при a = 0:

\( x² - (0-5)x - 5(0) = 0 \) ⇒ \( x² + 5x = 0 \) ⇒ \( x(x+5) = 0 \).

Корни этого квадратного уравнения: x = 0 и x = -5. Поскольку один из корней равен 0, а другой (-5) отличен от 0, то при a = 0 исходное уравнение имеет два различных корня: x₁ = 0 и x₂ = -5.

Ответ: Уравнение имеет ровно два различных корня при a = -5 и a = 0.