8. Прямая $$a$$ пересекает плоскость $$β$$ в точке $$C$$, и образует с плоскостью угол $$45°$$. $$A ∈ a$$, точка $$B$$ основание перпендикуляра опущенного на плоскость из точки $$A$$. $$CB = 5$$, найдите $$AC$$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В данном случае, угол между прямой $$a$$ и плоскостью $$β$$ — это угол $$∠ACB$$. Нам дано, что этот угол равен $$45°$$.

Треугольник $$ACB$$ — прямоугольный, так как $$CB$$ — проекция $$AC$$ на плоскость $$β$$, и $$AB$$ — перпендикуляр к плоскости.

По условию задачи: $$∠ACB = 45°$$ и $$CB = 5$$.

В прямоугольном треугольнике \( ACB \) тангенс угла $$45°$$ равен отношению противолежащего катета $$AB$$ к прилежащему катету $$CB$$:

\( \operatorname{tg}(45°) = \frac{AB}{CB} \)

Так как \( \operatorname{tg}(45°) = 1 \), то \( AB = CB = 5 \).

Теперь найдём гипотенузу $$AC$$, используя теорему Пифагора:

\( AC^2 = AB^2 + CB^2 \)

\( AC^2 = 5^2 + 5^2 \)

\( AC^2 = 25 + 25 = 50 \)

\( AC = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)

Ответ: $$5\sqrt{2}$$