8. Разложите на множители квадратный трехчлен: 7x²+20x-3.

Решение:

Чтобы разложить квадратный трехчлен \(7x^2 + 20x - 3\) на множители, найдем его корни. Для этого решим квадратное уравнение \(7x^2 + 20x - 3 = 0\).

1. Определим коэффициенты: \(a = 7\), \(b = 20\), \(c = -3\).


2. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (20)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 400 + 84 = 484 \]

3. Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.


4. Найдем корни по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ x_1 = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{-20 + 22}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \]
\[ x_2 = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{-20 - 22}{14} = \frac{-42}{14} = -3 \]

5. Теперь разложим трехчлен на множители по формуле \(ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)\):

\[ 7x^2 + 20x - 3 = 7\left(x - \frac{1}{7}\right)(x - (-3)) = 7\left(x - \frac{1}{7}\right)(x + 3) \]

6. Умножим 7 на первую скобку, чтобы избавиться от дроби:

\[ (7x - 1)(x + 3) \]

Ответ: \((7x - 1)(x + 3)\).