8. Решить неравенство x² + x ≥ 0

Решение:

1. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x + 1) ≥ 0 \).
2. Найдем точки, в которых выражение равно нулю: \( x = 0 \) и \( x = -1 \).
3. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -1] \), \( [-1, 0] \), \( [0, \infty) \).
4. Проверим знак выражения \( x(x + 1) \) в каждом интервале:
   • При \( x = -2 \): \( -2(-2 + 1) = -2(-1) = 2 > 0 \)
   • При \( x = -0.5 \): \( -0.5(-0.5 + 1) = -0.5(0.5) = -0.25 < 0 \)
   • При \( x = 1 \): \( 1(1 + 1) = 1(2) = 2 > 0 \)
5. Неравенство \( x(x + 1) ≥ 0 \) выполняется при \( x ≤ -1 \) или \( x ≥ 0 \).

Ответ: \( x ≤ -1 \) или \( x ≥ 0 \)