8. Решить однородное уравнение второй степени: - 3sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 0.

Краткое пояснение:

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Его можно решить, разделив обе части на \( ext{cos}^2x \) (предварительно убедившись, что \( ext{cosx}
e 0 \)) и сведя к квадратному уравнению относительно \( ext{tg}x \).

Пошаговое решение:

1. Проверка \( ext{cosx} = 0 \):
   Если \( ext{cosx} = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( ext{sin}x = \pm 1 \), так что \( ext{sin}^2x = 1 \).
   Подставляем в уравнение: \( -3(1) + 0 + 2(\pm 1)(0) = 0 \), то есть \( -3 = 0 \), что неверно. Значит, \( ext{cosx}
   e 0 \).
2. Деление на \( ext{cos}^2x \):
   Разделим все члены уравнения на \( ext{cos}^2x \):
   \( -3\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} + 2\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} = 0 \)
   \( -3\text{tg}^2x + 1 + 2\text{tg}x = 0 \)
3. Приведение к квадратному уравнению:
   Перепишем в стандартном виде: \( 3\text{tg}^2x - 2\text{tg}x - 1 = 0 \).
   Сделаем замену: \( y = ext{tg}x \).
   \( 3y^2 - 2y - 1 = 0 \).
4. Решение квадратного уравнения:
   Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \).
   \( y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6} \)
   \( y_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \)
5. Возврат к замене:
   1) \( \text{tg}x = 1 \) => \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где k — целое число.
   2) \( \text{tg}x = -\frac{1}{3} \) => \( x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n \) => \( x = -\text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n \), где n — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -\text{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n \), где k, n — целые числа.