8. Решите уравнение: cos²x + 6 sin x − 6 = 0.

Решение:

Данное уравнение:

\[ сos^2x + 6 сin x - 6 = 0 \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \( сos^2x = 1 - сin^2x \).

Подставим его в уравнение:

\[ (1 - сin^2x) + 6 сin x - 6 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ -сin^2x + 6 сin x - 5 = 0 \]

Умножим все члены на -1, чтобы коэффициент при \( сin^2x \) был положительным:

\[ сin^2x - 6 сin x + 5 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = сin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 6y + 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 5. Корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 5 \).

Теперь вернёмся к замене \( y = сin x \):

1. \( сin x = 1 \)

Это уравнение имеет решение \( x = \frac{π}{2} + 2πn \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( сin x = 5 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1. \( |сin x| ≤ 1 \).

Таким образом, решением исходного уравнения являются только значения из первого случая.

Ответ: \( x = \frac{π}{2} + 2πn \), где \( n ∈ ℤ \).