г) точки, касательные в которых параллельны оси абсцисс; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

г) Касательные к графику функции параллельны оси абсцисс в точках, где производная функции равна нулю. Найдем производную функции \( S = 1 + 4t - t^2 \): \( S'(t) = 4 - 2t \). Приравняем производную к нулю: \( 4 - 2t = 0 \Rightarrow 2t = 4 \Rightarrow t = 2 \) секунды.

д) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках (где производная равна нулю) и на концах отрезка.

Найдём значение функции в критической точке \( t = 2 \) секунд: \( S(2) = 1 + 4(2) - 2^2 = 1 + 8 - 4 = 5 \) м.

Теперь найдём значение функции на концах отрезка. Так как в условии не указан конкретный отрезок, а лишь сказано, что время \( t \) — это время движения, то \( t \ge 0 \). Если предположить, что рассматривается отрезок \( [0, T] \) для некоторого \( T \), то для нахождения наибольшего и наименьшего значений нужно знать этот отрезок.

Однако, если задача подразумевает нахождение экстремумов функции \( S(t) \) без ограничения на отрезок (только \( t ≥ 0 \)), то:

Так как \( S'(t) = 4 - 2t \), то при \( t < 2 \) \( S'(t) > 0 \) (функция возрастает), а при \( t > 2 \) \( S'(t) < 0 \) (функция убывает). Следовательно, в точке \( t = 2 \) функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение функции: \( S_{max} = S(2) = 5 \) м.

Минимальное значение функции на \( t ≥ 0 \) не ограничено снизу, так как \( S(t) \) убывает при \( t > 2 \) и стремится к \( -∞ \) при \( t → ∞ \). Однако, в контексте физического движения, расстояние \( S \) не может быть отрицательным. Если \( S \) — это координата, то она может быть отрицательной. Если \( S \) — это пройденный путь, то он неотрицателен. По формулировке \( S \) — это расстояние от начальной точки, что подразумевает возможное отрицательное значение, если точка движется назад за начальную точку.

Если предположить, что \( S \) — это пройденный путь, то \( S \) всегда \(≥ 0 \). В данном случае, \( S = 1 + 4t - t^2 \). Максимальное значение \( S=5 \) при \( t=2 \). Минимальное значение \( S=0 \) достигается, когда \( 1 + 4t - t^2 = 0 \), т.е. \( t^2 - 4t - 1 = 0 \). \( t = \frac{4 ± √{16+4}}{2} = \frac{4 ± √{20}}{2} = 2 ± √{5} \). Так как \( t ≥ 0 \), то \( t = 2 - √{5} < 0 \) (не подходит) и \( t = 2 + √{5} \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 5 м. Наименьшее значение на \( t ≥ 0 \) не определено, если \( S \) — координата. Если \( S \) — пройденный путь, то минимальное значение равно 0 м.