9. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 2x³ - 3x² - 19x – 1 на отрезке [-1; 2].

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 19x - 1 \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 19x - 1) = 6x^2 - 6x - 19 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 6x^2 - 6x - 19 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-6)^2 - 4(6)(-19) = 36 + 456 = 492 \]

Найдем корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} = \frac{6 ± √{492}}{12} \]

\[ √{492} = √{4 \times 123} = 2√{123} \]

\[ x_1 = \frac{6 + 2√{123}}{12} = \frac{3 + √{123}}{6} \]

\[ x_2 = \frac{6 - 2√{123}}{12} = \frac{3 - √{123}}{6} \]

Приближенное значение \( √{123} \) составляет около 11.1.

\[ x_1 ≈ \frac{3 + 11.1}{6} = \frac{14.1}{6} ≈ 2.35 \]

\[ x_2 ≈ \frac{3 - 11.1}{6} = \frac{-8.1}{6} ≈ -1.35 \]

Обе критические точки \( x_1 ≈ 2.35 \) и \( x_2 ≈ -1.35 \) не входят в заданный отрезок \( [-1; 2] \).

3. Вычислим значения функции на концах отрезка:

При \( x = -1 \):

\[ y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 19(-1) - 1 = 2(-1) - 3(1) + 19 - 1 = -2 - 3 + 19 - 1 = 13 \]

При \( x = 2 \):

\[ y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 19(2) - 1 = 2(8) - 3(4) - 38 - 1 = 16 - 12 - 38 - 1 = 4 - 38 - 1 = -34 - 1 = -35 \]

4. Сравним полученные значения. Так как критические точки не входят в отрезок, наибольшее и наименьшее значения будут на концах отрезка.

Наибольшее значение функции равно 13 (при \( x = -1 \)).

Наименьшее значение функции равно -35 (при \( x = 2 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 13, наименьшее значение функции равно -35.