8. Решите уравнение \(\frac{3x-1}{x} - \frac{4}{x-2} = \frac{10-9x}{x^2-2x}\).

Решение:

Приведем все дроби к общему знаменателю \( x(x-2) \).

1. \( x^2 - 2x = x(x-2) \).
2. Умножим обе части уравнения на \( x(x-2) \), предполагая, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \).
3. \( (3x-1)(x-2) - 4x = 10 - 9x \)
4. Раскроем скобки: \( 3x^2 - 6x - x + 2 - 4x = 10 - 9x \)
5. \( 3x^2 - 11x + 2 = 10 - 9x \)
6. Перенесем все члены в левую часть: \( 3x^2 - 11x + 2 - 10 + 9x = 0 \)
7. \( 3x^2 - 2x - 8 = 0 \)
8. Найдем дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \).
9. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]
10. Проверим ограничения: \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \). Корень \( x = 2 \) не подходит.
11. Единственный корень: \( x = -\frac{4}{3} \).

Ответ: \( -\frac{4}{3} \). Вариант А.