8. Ширина прямоугольника втрое меньше, чем его длина. Если ширину прямоугольника увеличить на 4 см, то его периметр станет 32 см. Вычислите длину этого прямоугольника.

Решение:

1. Обозначим длину прямоугольника как \( l \) см, а ширину — как \( w \) см.
2. По условию, ширина втрое меньше длины: \( w = \frac{l}{3} \).
3. Ширину увеличили на 4 см, новая ширина стала: \( w_{new} = w + 4 = \frac{l}{3} + 4 \).
4. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \( P = 2(l + w) \).
5. Новый периметр равен 32 см: \( 2(l + w_{new}) = 32 \).
6. Подставим выражение для новой ширины:

\( 2(l + \frac{l}{3} + 4) = 32 \)

7. Разделим обе части уравнения на 2:

\( l + \frac{l}{3} + 4 = 16 \)

8. Перенесём 4 в правую часть:

\( l + \frac{l}{3} = 16 - 4 \)

\( l + \frac{l}{3} = 12 \)

9. Приведём к общему знаменателю (3) в левой части:

\( \frac{3l}{3} + \frac{l}{3} = 12 \)

\( \frac{4l}{3} = 12 \)

10. Выразим \( l \):

\( l = 12 \cdot \frac{3}{4} \)

\( l = \frac{36}{4} \)

\( l = 9 \)

11. Найдём первоначальную ширину:

\( w = \frac{l}{3} = \frac{9}{3} = 3 \) см.

12. Проверим: Новая ширина \( w_{new} = 3 + 4 = 7 \) см. Новый периметр \( P = 2(9 + 7) = 2(16) = 32 \) см. Условие выполняется.

Ответ: длина прямоугольника — 9 см.