8. Сколько целых чисел расположено между 2√7 и 7√2?

Решение:

1. Оценим значения корней:
   • Для \( 2\sqrt{7} \):
     • \( \sqrt{4} = 2 \)
     • \( \sqrt{9} = 3 \)
     Так как \( 4 < 7 < 9 \), то \( 2 < \sqrt{7} < 3 \).
   • Умножим на 2: \( 2 \times 2 < 2\sqrt{7} < 2 \times 3 \) \( 4 < 2\sqrt{7} < 6 \)
   • Для \( 7\sqrt{2} \):
     • \( \sqrt{1} = 1 \)
     • \( \sqrt{4} = 2 \)
     Так как \( 1 < 2 < 4 \), то \( 1 < \sqrt{2} < 2 \).
   • Умножим на 7: \( 7 \times 1 < 7\sqrt{2} < 7 \times 2 \) \( 7 < 7\sqrt{2} < 14 \)
2. Возведем числа под корень для большей точности:
   • \( 2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \times 7} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{28} \)
   • \( 7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \times 2} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{98} \)
3. Определим целые числа между \( \sqrt{28} \) и \( \sqrt{98} \):
   • \( \sqrt{25} = 5 \)
   • \( \sqrt{36} = 6 \)
   • \( \sqrt{49} = 7 \)
   • \( \sqrt{64} = 8 \)
   • \( \sqrt{81} = 9 \)
   • \( \sqrt{100} = 10 \)
   Так как \( \sqrt{28} \) находится между 5 и 6 (ближе к 5, так как \( 5^2=25 \), \( 6^2=36 \)), а \( \sqrt{98} \) находится между 9 и 10 (ближе к 10, так как \( 9^2=81 \), \( 10^2=100 \)).
4. Точные значения:
   • \( \sqrt{28} \approx 5.29 \)
   • \( \sqrt{98} \approx 9.90 \)
5. Целые числа между 5.29 и 9.90: Это числа: 6, 7, 8, 9.
6. Подсчитаем количество целых чисел: Всего 4 целых числа.

Ответ: 4