8. Сколько целых чисел расположено между \( 5\sqrt{7} \) и \( 7\sqrt{5} \)?

Решение:

Для начала оценим значения \( 5\sqrt{7} \) и \( 7\sqrt{5} \).

Возведем числа под корень:

\[ 5\sqrt{7} = \sqrt{5^2 \cdot 7} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{175} \]

\[ 7\sqrt{5} = \sqrt{7^2 \cdot 5} = \sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{245} \]

Теперь найдем ближайшие точные квадраты к 175 и 245.

Для \( \sqrt{175} \):

\[ 13^2 = 169 \]

\[ 14^2 = 196 \]

Значит, \( 13 < \sqrt{175} < 14 \). Примерно \( 5\sqrt{7} ≈ 13.2 \).

Для \( \sqrt{245} \):

\[ 15^2 = 225 \]

\[ 16^2 = 256 \]

Значит, \( 15 < \sqrt{245} < 16 \). Примерно \( 7\sqrt{5} ≈ 15.6 \).

Итак, нам нужно найти целые числа между \( \sqrt{175} \) и \( \sqrt{245} \).

Числа находятся в диапазоне примерно от 13.2 до 15.6.

Целые числа в этом диапазоне: 14 и 15.

Таким образом, между \( 5\sqrt{7} \) и \( 7\sqrt{5} \) расположено 2 целых числа.

Ответ: 2