8. Сравните: √140 и 1/(7+4√3) + 1/(7-4√3)

Решение:

Сначала упростим второе выражение:

$$ \frac{1}{7+4\sqrt{3}} + \frac{1}{7-4\sqrt{3}} $$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(7-4\sqrt{3}) + (7+4\sqrt{3})}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} $$

Сложим числители:

$$ \frac{7-4\sqrt{3} + 7+4\sqrt{3}}{} = \frac{14}{} $$

Знаменатель представляет собой разность квадратов (a+b)(a-b) = a² - b²:

$$ (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \times 3) = 49 - 48 = 1 $$

Теперь подставим знаменатель обратно:

$$ \frac{14}{1} = 14 $$

Сравниваем √140 и 14.

Возведем оба числа в квадрат, чтобы сравнить:

(√140)² = 140

14² = 196

Так как 140 < 196, то √140 < 14.

Ответ:

√140 < 14