8. Тіктөртбұрыштың диагоналі оның бір қабырғасынан екі есе үлкен. Тіктөртбұрыштың диагональдары оның қабырғаларымен қандай бұрыш жасайды?

Тіктөртбұрыштың қабырғаларын \(a\) және \(b\), ал диагоналін \(d\) деп алайық. Диагональ бір қабырғасынан екі есе үлкен делінгендіктен, екі жағдайды қарастырамыз.

1. Егер \(d=2a\), онда Пифагор теоремасы бойынша \(d^2=a^2+b^2\). Сондықтан \(4a^2=a^2+b^2\), яғни \(b^2=3a^2\). Диагональ мен \(a\) қабырғасының арасындағы бұрышты \(\alpha\) десек, \(\cos\alpha=\frac{a}{d}=\frac12\), сондықтан \(\alpha=60^\circ\). Екінші қабырғамен жасайтын сүйір бұрыш \(30^\circ\).
2. Егер \(d=2b\), дәл осылай диагональ мен \(b\) қабырғасының арасындағы бұрыш \(60^\circ\), ал екінші қабырғамен жасайтын сүйір бұрыш \(30^\circ\) болады.

Тіктөртбұрыштың екінші диагоналі де қабырғалармен осындай сүйір бұрыштар жасайды; бұрыштардың орналасуы диагональ мен қабырғаның таңдалуына байланысты.

Жауап: диагональ қабырғалармен \(30^\circ\) және \(60^\circ\) бұрыш жасайды.