8. Тип 10 № 472259 На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий А и В в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события AUB.

Задание 8. Вероятность события A ∪ B (объединение)

Чтобы найти вероятность объединения событий \( A \cup B \), нам нужно просуммировать вероятности всех элементарных исходов, которые входят хотя бы в одно из событий \( A \) или \( B \).

На диаграмме указаны вероятности для каждой области:

• Область, принадлежащая только событию \( A \): \( 0.2 \)
• Область, принадлежащая только событию \( B \): \( 0.1 \)
• Область пересечения \( A \cap B \): \( 0.3 \)
• Элементарное событие вне \( A \) и \( B \): \( 0.1 \)
• Еще одно элементарное событие вне \( A \) и \( B \): \( 0.05 \)
• Еще одно элементарное событие вне \( A \) и \( B \): \( 0.05 \)
• Еще одно элементарное событие вне \( A \) и \( B \): \( 0.1 \)

Вероятность события \( A \cup B \) — это сумма вероятностей всех точек, которые находятся внутри круга \( A \) или внутри круга \( B \) (или в обоих).

\[ P(A \cup B) = P(A \text{ без } B) + P(B \text{ без } A) + P(A \cap B) \]

Из диаграммы:

\[ P(A \text{ без } B) = 0.2 \]

\[ P(B \text{ без } A) = 0.1 \]

\[ P(A \cap B) = 0.3 \]

Суммируем эти вероятности:

\[ P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 \]

Альтернативный способ: найти сумму всех вероятностей и вычесть вероятность события, которое не входит ни в A, ни в B.

Сумма всех вероятностей: \( 0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.1 + 0.05 + 0.05 + 0.1 = 0.9 \)

Вероятность события, не входящего ни в A, ни в B (вне кругов): \( 0.1 + 0.05 + 0.05 + 0.1 = 0.3 \)

\( P(A B) = 1 - P(\text{вне A и B}) \)

\( P(A B) = 1 - 0.3 = 0.7 \)

Давай ещё раз посмотрим на диаграмму:

• Вероятность события A = \( 0.2 + 0.3 = 0.5 \)
• Вероятность события B = \( 0.1 + 0.3 = 0.4 \)
• Вероятность события \( A B \) = \( P(A) + P(B) - P(A ∩ B) \)
• \( P(A B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6 \)

Все точки, входящие в A или B:

• 0.2 (только A)
• 0.1 (только B)
• 0.3 (A и B)

Суммируем их:

\[ 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 \]

Ответ: 0.6