8. Тип 7 № 8042 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах.

Краткая запись:

• Дано: Точки А, В, С на клетчатой бумаге.
• Найти: Сумму углов ∠ABC + ∠CAB.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем координаты точек, исходя из рисунка (принимая левую нижнюю точку за начало координат (0,0)):
   A = (3, 0)
   B = (3, 5)
   C = (0, 3)
2. Шаг 2: Находим векторы сторон для углов:
   Для ∠ABC: Вектор BA = A - B = (3-3, 0-5) = (0, -5)
   Вектор BC = C - B = (0-3, 3-5) = (-3, -2)
   Для ∠CAB: Вектор AC = C - A = (0-3, 3-0) = (-3, 3)
   Вектор AB = B - A = (3-3, 5-0) = (0, 5)
3. Шаг 3: Вычисляем косинусы углов.
   cos(∠ABC) = (BA · BC) / (|BA| * |BC|)
   BA · BC = (0 * -3) + (-5 * -2) = 0 + 10 = 10
   |BA| = sqrt(0^2 + (-5)^2) = sqrt(25) = 5
   |BC| = sqrt((-3)^2 + (-2)^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13)
   cos(∠ABC) = 10 / (5 * sqrt(13)) = 2 / sqrt(13)
   ∠ABC = arccos(2 / sqrt(13)) ≈ 56.31°
   
   cos(∠CAB) = (AC · AB) / (|AC| * |AB|)
   AC · AB = (-3 * 0) + (3 * 5) = 0 + 15 = 15
   |AC| = sqrt((-3)^2 + 3^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3 * sqrt(2)
   |AB| = sqrt(0^2 + 5^2) = sqrt(25) = 5
   cos(∠CAB) = 15 / (3 * sqrt(2) * 5) = 15 / (15 * sqrt(2)) = 1 / sqrt(2)
   ∠CAB = arccos(1 / sqrt(2)) = 45°
4. Шаг 4: Находим сумму углов.
   ∠ABC + ∠CAB ≈ 56.31° + 45° = 101.31°

Ответ: 101.31