8. Тип 7 № 8090 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссек- трисы треугольника, выходящей из вершины А.

Для решения этой задачи нам нужно:

1. Определить координаты вершин треугольника. Предположим, что вершина А находится в точке (1, 1), B в (4, 5), C в (6, 1).
2. Найти длину стороны BC. Используем формулу расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).
3. Найти длину стороны AB.
4. Найти длину стороны AC.
5. Воспользоваться теоремой о биссектрисе. Длина биссектрисы, проведенной из вершины A, равна \( l_a = \frac{2}{b+c} \sqrt{bcs(s-a)} \), где a, b, c - длины сторон треугольника, а s - полупериметр.

Альтернативный, более простой способ с использованием сетки:

1. Визуальная оценка. Посчитаем длину сторон, исходя из размера клеток.
2. Сторона AB: проходит через 3 клетки по горизонтали и 4 по вертикали. Длина \( AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \) клеток.
3. Сторона AC: проходит через 5 клеток по горизонтали. Длина \( AC = 5 \) клеток.
4. Сторона BC: проходит через 2 клетки по горизонтали и 4 по вертикали. Длина \( BC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \) клеток.
5. Биссектриса из A. Так как AB = AC = 5, треугольник ABC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. В нашем случае основание BC. Таким образом, биссектриса из А будет делить BC пополам.
6. Найдем середину BC. Координаты середины BC: \( (\frac{4+6}{2}, \frac{5+1}{2}) = (5, 3) \).
7. Найдем длину биссектрисы (она же медиана) AM, где M=(5,3). \( AM = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) клеток.

Ответ: $$2\sqrt{5}$$