8. У Коли есть 100 монет и доска m × n, где m ≥ n и m > 1. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать m? Укажите все возможные варианты.

Рассмотрим две соседние клетки. Если в первой лежит \(x\) монет, то во второй лежит \(10-x\). Для любой цепочки клеток значения чередуются.

Если доска имеет хотя бы одну нечётную сторону, то в каждой строке или столбце число клеток нечётно, и подсчёт приводит к тому, что общее число монет равно \(5mn\). Так как всего монет 100, получаем \(mn=20\).

Если обе стороны чётные, половина клеток содержит \(x\) монет, а половина — \(10-x\) монет, поэтому общее количество монет равно \(5mn\) независимо от \(x\). Снова \(mn=20\).

Следовательно, \(m\) и \(n\) — делители числа 20, причём \(m\ge n\) и \(m>1\). Возможные пары:

\((m,n)=(4,5)\) не подходит, поскольку \(m\ge n\); подходят \((5,4)\), \((10,2)\), \((20,1)\).

Ответ: \(m=5,10,20\).