8. У Лены есть белые, синие и красные бусины. Она нанизывает бусины на нитку в таком порядке: одну белую, две красные, три синие, снова белые, но уже четыре, потом пять красных и так далее. Последней будет нанизана белая бусина. Сколько на нитке всего красных бусин, если синих бусин всего 45?

Решение:

Последовательность нанизывания бусин:

1 белая, 2 красные, 3 синие

4 белая, 5 красные, 6 синие

7 белая, 8 красные, 9 синие

... и так далее.

В каждом тройном цикле (белая, красные, синие) количество бусин увеличивается. Количество синих бусин увеличивается на 3 в каждом цикле.

Если всего 45 синих бусин, то количество циклов равно: \( 45 / 3 = 15 \) циклов.

Теперь посчитаем количество красных бусин.

В 1-м цикле: 2 красные.

Во 2-м цикле: 5 красных.

В 3-м цикле: 8 красных.

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 2 \) и разностью \( d = 3 \).

Количество красных бусин в 15-м цикле равно: \( a_{15} = a_1 + (15-1)d = 2 + 14 × 3 = 2 + 42 = 44 \).

Общее количество красных бусин равно сумме арифметической прогрессии:

\[ S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} × 15 = \frac{2 + 44}{2} × 15 = \frac{46}{2} × 15 = 23 × 15 = 345 \]

Ответ: 345