8. Угол A параллелограмма ABCD равен 30°. Высота BH этого параллелограмма равна 2 и делит сторону AD пополам. Найдите диагональ BD и угол BDA.

Так как \(BH\) — высота, \(BH\perp AD\). Точка \(H\) — середина \(AD\), поэтому \(AH=HD\).

В прямоугольном треугольнике \(ABH\) угол \(BAH=30^\circ\), а противоположный ему катет \(BH=2\). Следовательно, \(AB=2\cdot BH=4\), а \(AH=BH\sqrt{3}=2\sqrt{3}\). Тогда \(HD=2\sqrt{3}\).

В прямоугольном треугольнике \(BHD\):

\(BD=\sqrt{BH^2+HD^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4\).

Поскольку \(BH=2\) и \(HD=2\sqrt{3}\), получаем \(\tan\angle BDA=\tan\angle BDH=\frac{BH}{HD}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому \(\angle BDA=30^\circ\).

Ответ: \(BD=4\), \(\angle BDA=30^\circ\).