8. Упростите выражение: $\dfrac{8-n^3}{2+n}:(2+\dfrac{n^2}{n+2})-\dfrac{n^2}{n-2}\cdot\dfrac{4-n^2}{n^2+2n}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Упростите выражение: $\dfrac{8-n^3}{2+n}:(2+\dfrac{n^2}{n+2})-\dfrac{n^2}{n-2}\cdot\dfrac{4-n^2}{n^2+2n}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Учитываем область допустимых значений исходного выражения: знаменатели не равны нулю, поэтому $n\ne -2,0,2$.

Разложим на множители и упростим первую дробь:
$\dfrac{8-n^3}{n+2}=-\dfrac{n^3-8}{n+2}=-\dfrac{(n-2)(n^2+2n+4)}{n+2}.$
Упростим выражение в скобках:
$2+\dfrac{n^2}{n+2}=\dfrac{2(n+2)+n^2}{n+2}=\dfrac{n^2+2n+4}{n+2}.$
Выполним деление:
$-\dfrac{(n-2)(n^2+2n+4)}{n+2}:\dfrac{n^2+2n+4}{n+2}=-(n-2)=2-n.$
Упростим произведение во второй части:
$\dfrac{n^2}{n-2}\cdot\dfrac{4-n^2}{n^2+2n}=\dfrac{n^2}{n-2}\cdot\dfrac{-(n-2)(n+2)}{n(n+2)}=-n.$
Вычтем полученное произведение: $(2-n)-(-n)=2$.

Ответ: $2$, при $n\ne -2,0,2$.

8. Упростите выражение: \(\dfrac{8-n^3}{2+n}:(2+\dfrac{n^2}{n+2})-\dfrac{n^2}{n-2}\cdot\dfrac{4-n^2}{n^2+2n}\).