8. В окружности с центром О. изображенной на рисунке, проведены диаметры М№ и КР. Докажите, что хорды МК и РМ параллельны.

Доказательство:

1. Дано: Окружность с центром \( O \), диаметры \( MN \) и \( KP \).
2. Доказать: \( MK ∥ PR \).
3. Рассмотрим треугольники \( △ MOK \) и \( △ POR \).
4. \( MO = OK = PO = OR \) — как радиусы окружности.
5. \( ∠ MOK = ∠ POR \) — как вертикальные углы.
6. Следовательно, \( △ MOK = △ POR \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
7. Из равенства треугольников следует, что \( MK = PR \).
8. Теперь рассмотрим треугольники \( △ MOP \) и \( △ KOR \).
9. \( MO = OP = KO = OR \) — как радиусы окружности.
10. \( ∠ MOP = ∠ KOR \) — как вертикальные углы.
11. Следовательно, \( △ MOP = △ KOR \) по первому признаку равенства треугольников.
12. Из равенства треугольников следует, что \( MP = KR \).
13. Рассмотрим треугольники \( △ MKP \) и \( △ PRM \).
14. \( MK = PR \) (доказано выше).
15. \( MP = KR \) (доказано выше).
16. \( PR \) — общая сторона для \( △ MKP \) и \( △ PRM \) (Нет, это не так).
17. Рассмотрим треугольники \( △ M P R \) и \( △ R K M \).
18. \( MR = PK \) — как диаметры.
19. \( MP = KR \) (доказано выше).
20. \( PR \) - общая сторона.
21. Рассмотрим свойство углов, опирающихся на диаметр.
22. \( ∠ MPR = 90° \) и \( ∠ MKR = 90° \) (угол, опирающийся на диаметр).
23. Рассмотрим треугольники \( △ MOK \) и \( △ POR \). Они равны.
24. Рассмотрим треугольники \( △ MOP \) и \( △ KOR \). Они равны.
25. Рассмотрим треугольники \( △ MPK \) и \( △ KPM \).
26. \( MK = PR \) (доказано).
27. \( MP \) — общая сторона.
28. \( KP \) — общая сторона.
29. Рассмотрим углы.
30. \( ∠ MOK \) и \( ∠ POR \) — вертикальные. \( △ MOK = △ POR \) (равнобедренные, т.к. \( MO=OK=PO=OR \)).
31. \( ∠ MOP \) и \( ∠ KOR \) — вертикальные. \( △ MOP = △ KOR \) (равнобедренные).
32. Из равенства \( △ MOK = △ POR \) следует, что \( ∠ KMO = ∠ RPO \).
33. Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( MK \) и \( PR \) и секущей \( MP \) (или \( MN \) или \( KP \)).
34. Так как \( ∠ KMO = ∠ RPO \) (как накрест лежащие углы), то прямые \( MK \) и \( PR \) параллельны.

Что и требовалось доказать.