8. В параллелограмме PZSM диагональ PS в 2 раза больше стороны PZ и ∠PSM = 118°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим \(PZ=a\), а \(PS=2a\). В параллелограмме \(SM=PZ=a\), поэтому в треугольнике \(PSM\) стороны \(PS=2a\) и \(SM=a\), а угол \(PSM=118^\circ\).

По теореме синусов для угла \(SPM\): \(\sin\angle SPM=\frac{SM}{PS}\sin118^\circ=\frac12\sin62^\circ\). Следовательно, \(\angle SPM\approx25.7^\circ\).

Треугольник \(PSM\) равнобедренным не является; для нахождения угла между диагоналями используем их направления. Пусть \(\vec{SP}=u\), \(\vec{SM}=v\). Диагонали имеют направления \(u+v\) и \(u-v\). При \(|u|=2a\), \(|v|=a\) и угле между ними \(118^\circ"); точный угол между диагоналями определяется этими данными, например через скалярное произведение: \((u+v)\cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2=3a^2\), а \(|u+v||u-v|=\sqrt{(5a^2+4a^2\cos118^\circ)(5a^2-4a^2\cos118^\circ)}\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{25-16\cos^2 118^\circ}}\), где \(\varphi\) — меньший угол между диагоналями.

Вычисление даёт \(\varphi\approx53.0^\circ\).

Ответ: примерно \(53^\circ\).