8. В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 8:5. Найдите меньший острый угол этого треугольника.

Задание 8

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 8: 5.

Найти: меньший острый угол треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике есть три угла: два острых и один прямой (90°).

Внешние углы треугольника смежны с внутренними углами.

Внешний угол при прямом угле (90°) равен \( 180° - 90° = 90° \).

Пусть острые углы треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90° \).

Внешние углы при острых углах равны \( 180° - \alpha \) и \( 180° - \beta \).

По условию, наибольший и наименьший внешние углы относятся как 8: 5. Внешний угол при прямом угле равен 90°.

Сравним значения внешних углов:

• \( 90° \)
• \( 180° - \alpha \)
• \( 180° - \beta \)

Наименьшим острым углом будет тот, у которого больший внешний угол. Наибольшим острым углом будет тот, у которого меньший внешний угол.

Пусть \( \alpha \) — меньший острый угол, а \( \beta \) — больший острый угол. Тогда \( \alpha < \beta \) и \( \alpha < 45° \), \( \beta > 45° \).

Значит, \( 180° - \alpha > 180° - \beta \). Наибольшим внешним углом будет \( 180° - \alpha \).

Наименьшим внешним углом будет \( 180° - \beta \).

Внешний угол при прямом угле равен 90°.

Сравним \( 90° \) с \( 180° - \alpha \) и \( 180° - \beta \).

Так как \( \alpha \) и \( \beta \) — острые углы (меньше 90°), то \( 180° - \alpha > 90° \) и \( 180° - \beta > 90° \).

Значит, наибольший внешний угол — это \( 180° - \alpha \), а наименьший — \( 180° - \beta \). При этом прямой угол дает внешний угол 90°, который может быть средним или наименьшим.

Рассмотрим два варианта:

Вариант 1: Наибольший внешний угол = \( 180° - \alpha \), наименьший внешний угол = \( 180° - \beta \).

\( (180° - \alpha) : (180° - \beta) = 8 : 5 \)

\( 5(180° - \alpha) = 8(180° - \beta) \)

\( 900° - 5\alpha = 1440° - 8\beta \)

\( 8\beta - 5\alpha = 540° \)

Также знаем, что \( \alpha + \beta = 90° \), значит \( \beta = 90° - \alpha \).

Подставим: \( 8(90° - \alpha) - 5\alpha = 540° \)

\( 720° - 8\alpha - 5\alpha = 540° \)

\( 720° - 13\alpha = 540° \)

\( 13\alpha = 720° - 540° \)

\( 13\alpha = 180° \)

\( \alpha = \frac{180°}{13} \approx 13,85° \). Это меньше 45°, значит \( \alpha \) — меньший острый угол.

\( \beta = 90° - \frac{180°}{13} = \frac{1170° - 180°}{13} = \frac{990°}{13} \\approx 76,15° \).

Внешние углы: \( 180° - \alpha \\approx 166,15° \), \( 180° - \beta \\approx 103,85° \), 90°.

Отношение наибольшего и наименьшего: \( 166,15 : 103,85 \\approx 1.6 \) (не 8:5).

Вариант 2: Наибольший внешний угол = \( 180° - \alpha \), средний = 90°, наименьший = \( 180° - \beta \).

\( (180° - \alpha) : (180° - \beta) = 8 : 5 \). Этот случай уже рассмотрен и не подходит.

Вариант 3: Наибольший внешний угол = \( 180° - \alpha \), средний = \( 180° - \beta \), наименьший = 90°.

\( (180° - \alpha) : 90° = 8 : 5 \)

\( 5(180° - \alpha) = 8 × 90° \)

\( 900° - 5\alpha = 720° \)

\( 5\alpha = 900° - 720° \)

\( 5\alpha = 180° \)

\( \alpha = 36° \).

Так как \( \alpha \) — меньший острый угол, то \( \alpha = 36° \).

Тогда \( \beta = 90° - \alpha = 90° - 36° = 54° \).

Проверим внешние углы:

• Наибольший острый угол \( \beta = 54° \), внешний угол \( 180° - 54° = 126° \).
• Меньший острый угол \( \alpha = 36° \), внешний угол \( 180° - 36° = 144° \).
• Прямой угол 90°, внешний угол 90°.

Сравним внешние углы: 144°, 126°, 90°.

Наибольший внешний угол = 144°. Наименьший внешний угол = 90°.

Их отношение: \( 144° : 90° = 144/90 = 16/10 = 8/5 \). Это соответствует условию.

Мы искали меньший острый угол, который равен \( \alpha \).

\( \alpha = 36° \).

Ответ: 36°.