8. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один катет \( a = 10 \), а противолежащий ему угол \( \alpha = 45^{\circ} \).

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а один угол прямой (90°), то сумма двух острых углов равна 90°.

Второй острый угол \( \beta = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Поскольку два угла равны (45°), треугольник является равнобедренным. Это значит, что второй катет \( b \) равен первому катету \( a \).

\( b = a = 10 \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \).

\( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50 \).

Ответ: 50.