9. Центральный угол АОВ опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение:

Центральный угол \( \angle AOB \) опирается на хорду \( AB \), длина которой равна 6.

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \). Стороны \( OA \) и \( OB \) являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OB \). Следовательно, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, \( \angle OAB = \angle OBA \).

По условию, \( \angle OAB = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \angle OBA = 60^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем \( \angle AOB \):

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Так как все углы в \( \triangle AOB \) равны 60°, то треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Значит, \( OA = OB = AB \).

По условию, длина хорды \( AB = 6 \).

Следовательно, радиус окружности \( R = OA = 6 \).

Ответ: 6.