8. В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см, боковая сторона 5 см. Найдите площадь.

Решение:

Для нахождения площади трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \) нам нужно найти высоту \( h \).

Дано: \( a = 10 \) см (большее основание), \( b = 6 \) см (меньшее основание), \( c = 5 \) см (боковая сторона).

Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны высоте \( h \) и половине разности оснований.

Разность оснований: \( a - b = 10 \text{ см} - 6 \text{ см} = 4 \) см.

Половина разности оснований: \( \frac{a-b}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике катеты — это \( h \) и 2 см, а гипотенуза — боковая сторона 5 см. По теореме Пифагора:

\[ h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = c^2 \]
\[ h^2 + (2 \text{ см})^2 = (5 \text{ см})^2 \]
\[ h^2 + 4 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2 \]
\[ h^2 = 25 \text{ см}^2 - 4 \text{ см}^2 = 21 \text{ см}^2 \]
\[ h = \sqrt{21} \text{ см} \]

Теперь найдём площадь трапеции:

\[ S = \frac{10 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} \cdot \sqrt{21} \text{ см} = \frac{16 \text{ см}}{2} \cdot \sqrt{21} \text{ см} = 8 \text{ см} \cdot \sqrt{21} \text{ см} = 8\sqrt{21} \text{ см}^2 \]

Ответ: 8\(\sqrt{21}\) см².