8. В тетради в строчку написали несколько натуральных чисел. Каждое число, начиная со второго, либо в 4 раза больше, либо в 5 раз больше предыдущего. а) Написаны два числа. Может ли их сумма равняться 78? Если да, приведите пример. Если нет, то почему? б) Написаны два числа. Может ли их сумма равняться 7532? Если да, приведите пример. Если нет, то почему? в) Написаны три числа. Может ли их сумма равняться 2025? Если да, приведите пример. Если нет, то почему?

Решение.

Пусть первое число равно \(a\).

а) Если чисел два, то второе число равно \(4a\) или \(5a\). Поэтому их сумма равна соответственно \(5a\) или \(6a\). Число 78 не делится ни на 5, ни на 6. Следовательно, получить сумму 78 невозможно.

Ответ: нет.

б) Сумма двух чисел снова должна иметь вид \(5a\) или \(6a\). Число 7532 не делится ни на 5, ни на 6: оно не оканчивается на 0 или 5, а сумма его цифр равна \(7+5+3+2=17\). Следовательно, получить сумму 7532 невозможно.

Ответ: нет.

в) Для трёх чисел возможны четыре вида сумм:

• \(a+4a+16a=21a\);
• \(a+4a+20a=25a\);
• \(a+5a+20a=26a\);
• \(a+5a+25a=31a\).

Число 2025 делится на 25: \(2025:25=81\). Поэтому подходит последовательность, в которой сначала умножают на 4, а затем на 5:

\(81,\ 324,\ 1620\).

Проверка: \(81+324+1620=2025\).

Ответ: да, например числа 81, 324 и 1620.