8. В тетраэдре DABC ребро DA перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что в треугольнике ABC угол A равен 90°. Докажите, что прямая DA перпендикулярна прямой BC.

Так как DA ⟂ (ABC), прямая DA перпендикулярна любой прямой плоскости ABC, проходящей через точку A. В частности, DA ⟂ AB.

По условию ∠BAC = 90°, поэтому AB ⟂ AC. Но BC не проходит через A; одного факта DA ⟂ (ABC) достаточно, чтобы DA была перпендикулярна BC лишь если BC пересекает DA. Прямые DA и BC не пересекаются: DA пересекает плоскость ABC только в A, а A не принадлежит BC. Следовательно, они скрещиваются, а перпендикулярность скрещивающихся прямых здесь определяется через направление, и DA перпендикулярна BC не следует из условия.

Например, положим A=(0,0,0), D=(0,0,1), B=(1,0,0), C=(0,1,0). Условия соблюдены: DA ⟂ (ABC) и ∠A=90°. Направляющие векторы DA и BC равны (0,0,1) и (−1,1,0), их скалярное произведение равно 0, поэтому в данном случае скрещивающиеся прямые перпендикулярны. В общем случае BC лежит в плоскости ABC, а DA направлена по нормали к этой плоскости, поэтому направление DA перпендикулярно направлению BC.

Следовательно, DA ⟂ BC.

Ответ: DA ⟂ BC.