9. В кубе A1B1C1D1 найдите угол между прямой AC1 и плоскостью основания ABCD. Ответ обоснуйте.

Обозначим ребро куба через a, а O — точку пересечения диагоналей основания ABCD. Ортогональная проекция прямой AC1 на плоскость ABCD — диагональ AC: точка A уже лежит в плоскости, а C1 проектируется в C.

Поэтому искомый угол равен ∠C1AC. В прямоугольном треугольнике ACC1 имеем CC1=a и AC=a√2.

Тогда tan ∠C1AC = CC1/AC = 1/√2, следовательно, ∠C1AC = arctan(1/√2) ≈ 35,3°.

Ответ: arctan(1/√2) ≈ 35,3°.