Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площади треугольников, прилежащих к основаниям, это \( S_{\triangle BOC} = S_1 = 4 \text{ см}^2 \) и \( S_{\triangle AOD} = S_2 = 16 \text{ см}^2 \).
В трапеции с основаниями BC и AD, треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle AOD \) подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
\( \frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
Коэффициент подобия \( k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \).
Таким образом, отношение сходственных сторон равно \( k = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2} \).
Треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle BOC \) имеют равные высоты, проведённые из вершины B к основанию AC. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:
\( \frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{OC} \).
Аналогично, для треугольников \( \triangle AOD \) и \( \triangle DOC \):
\( \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle DOC}} = \frac{AO}{OC} \).
Так как \( \triangle ABO \) и \( \triangle DOC \) подобны с коэффициентом \( k = 1/2 \), то \( \frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle DOC}} = k^2 = (1/2)^2 = 1/4 \).
Из подобия \( \triangle BOC \text{ и } \triangle AOD \) следует, что \( \frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB} = \frac{AD}{BC} = 2 \).
Тогда \( \frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{AO}{OC} = 2 \) => \( S_{\triangle ABO} = 2 × S_{\triangle BOC} = 2 × 4 = 8 \text{ см}^2 \).
И \( \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle DOC}} = \frac{AO}{OC} = 2 \) => \( S_{\triangle DOC} = \frac{1}{2} × S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} × 16 = 8 \text{ см}^2 \).
Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырёх треугольников:
\( S_{ABCD} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOD} + S_{\triangle ABO} + S_{\triangle DOC} \)
\( S_{ABCD} = 4 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2 = 36 \text{ см}^2 \)
Ответ: 36 см2
