8. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти: BC.

В треугольнике BCD углы при C и D равны 90° и 45°, значит, ∠CBD = 45°. Поэтому ∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 135° − 45° = 90°.

Из BC ∥ AD следует, что ∠ADB = ∠CBD = 45°. Тогда треугольник ABD — прямоугольный равнобедренный, а AD = 30 — его гипотенуза. Следовательно, BD = 30 / √2 = 15√2.

Треугольник BCD также прямоугольный равнобедренный, поэтому BD — его гипотенуза, а BC = BD / √2 = 15.

Ответ: BC = 15.